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Artículo publicado por Erica Klarreich el 13 de marzo de 2016 en Quanta Magazine

Traducción realizada por Virginia Basgall

Una propiedad anteriormente inadvertida de los números primos parece violar una antigua hipótesis acerca de cómo se comportan.

Dos matemáticos han descubierto una sencilla propiedad de los números primos, previamente inadvertida — esos números que son divisibles únicamente por 1 y por ellos mismos. Los números primos, al parecer, tienen una firme preferencia por los dígitos finales de los primos que los siguen inmediatamente.

Entre los primeros mil millones de números primos, por ejemplo, es casi un 65 por ciento más probable que un primo que termina en 9 sea seguido por uno que acaba en 1 que por otro que finaliza en 9. En un artículo publicado en línea, Kannan Soundararajan y Robert Lemke Oliver de la Universidad de Stanford presentan pruebas tanto numéricas como teóricas de que los números primos repelen a otros posibles primos que terminan en el mismo dígito, y tienen ciertas predilección por ir seguidos de números primos que finalizan en los otros últimos dígitos posibles.

“Hemos estado estudiando primos durante mucho tiempo, y nadie había detectado esto antes”, dijo Andrew Granville, teórico de números de la Universidad de Montreal y del University College de Londres. “Es una locura”.

Números primos

Números primos Crédito: Zim+Teemo

El descubrimiento es exactamente lo contrario de lo que la mayoría de los matemáticos han predicho, dijo Ken Ono, teórico de números de la Universidad de Emory en Atlanta. Cuando escuchó por primera vez la noticia, dijo, “Me sorprendió. Pensé, ‘Seguro que su programa no está funcionando’”.

Esta conspiración entre los números primos parece, a primera vista, violar una vieja suposición en la teoría de números: los números primos se comportan como números aleatorios. La mayoría de los matemáticos han asumido, Granville y Ono estuvieron de acuerdo, que un primo debería tener la misma probabilidad de ser seguido por un primo que termina en 1, 3, 7 ó 9 (los cuatro posibles finales para todos los números primos excepto 2 y 5).

“No puedo creer que nadie en el mundo haya sospechado esto”, dijo Granville. Incluso después de haber visto el análisis del fenómeno de Lemke Oliver y Soundararajan, dijo, “todavía parece una rareza”.

Sin embargo, el trabajo del dúo no invalida la idea de que los primos se comportan de forma aleatoria sino que puntualiza cuán sutil es su particular mezcla de azar y orden. “¿Podemos redefinir lo que significa “aleatorio” en este contexto de manera que, una vez más, [este fenómeno] parezca aleatorio?”, dijo Soundararajan. “Eso es lo que pensamos que hemos hecho.”

Preferencias de primos

Soundararajan se sintió atraído hacia el estudio de los primos consecutivos después de escuchar una conferencia en Stanford del matemático Tadashi Tokieda, de la Universidad de Cambridge, en la que mencionaba una propiedad contraria a la intuición de la de lanzar una moneda: si Alicia lanza una moneda hasta que ve cara seguida de cruz, y Bob lanza una moneda hasta que ve dos caras seguidas, a continuación, en promedio, Alicia requerirá cuatro lanzamientos, mientras que Bob requerirá seis lanzamientos (¡intente esto en casa!), a pesar de que cara-cruz y cara-cara tienen igualdad de oportunidades de aparecer después de dos lanzamientos de moneda.

Soundararajan se preguntó si un fenómeno igualmente extraño aparece en otros contextos. Puesto que ha estudiado los números primos durante décadas, se centró en ellos – y encontró algo aún más extraño de lo que había previsto. Observando los números primos escritos en base 3 – en la que aproximadamente una mitad termina en 1 y la otra mitad termina en 2 – encontró que entre los números primos menores que 1000, un primo que finaliza en 1 tiene dos veces más probabilidades de ser seguido por un primo que termina en 2 que por otro finalizado en 1. Del mismo modo, un primo que culmina en 2 prefiere ser seguido por un primo que acaba en 1.

Soundararajan mostró sus resultados al investigador postdoctoral Lemke Oliver, que quedó conmocionado. De inmediato, escribió un programa que buscaba mucho más lejos a lo largo de la línea de números – a través de los primeros 400 mil millones de números primos. Lemke Oliver nuevamente encontró que los números primos parecen evitar ser seguidos por otro con el mismo dígito final. Los números primos “realmente odian repetirse”, dijo Lemke Oliver.

Lemke Oliver y Soundararajan descubrieron que este tipo de sesgo en los últimos dígitos de los números primos consecutivos no se da simplemente en base 3, sino también en base 10 y varias otras bases; Los sesgos que encontraron parecen igualarse, poco a poco, a medida que avanzan más lejos a lo largo de la línea de números – pero lo hacen a paso de tortuga. “Es el ritmo al que incluso se equilibran lo que me sorprende”, dijo James Maynard, teórico de números de la Universidad de Oxford. Cuando Soundararajan le dijo por primera vez a Maynard lo que la pareja había descubierto, “Sólo le creí a medias”, agregó Maynard. “Tan pronto como volví a mi oficina, ejecuté un experimento numérico para comprobar esto por mí mismo”.

La primera suposición de Lemke Oliver y Soundararajan de por qué se produce este sesgo fue simple: tal vez un primo que termina en 3, por ejemplo, es más probable que sea seguido por un primo que acaba en 7, 9 o 1 por el mero hecho de que se encuentra con números con esas terminaciones antes que de llegar a otro número que termina en 3. Por ejemplo, el 43 es seguido por 47, 49 y 51 antes de que llegue el 53, y uno de esos números, el 47, es primo.

Pero el par de matemáticos pronto se dio cuenta de que esta explicación potencial no podía dar cuenta de la magnitud de los sesgos que encontraron. Tampoco podía explicar por qué, como encontró la pareja, a los primos que terminan en 3 parece gustarles que los sigan números primos que terminan en 9 más que en 1 ó 7. Para explicar éstas y otras preferencias, Lemke Oliver y Soundararajan tuvieron que adentrarse en los más profundos modelos que tienen los matemáticos para el comportamiento aleatorio en los números primos.

Primos aleatorios

Los números primos, por supuesto, no son realmente aleatorios en absoluto — están completamente determinados. Sin embargo, en muchos aspectos, parecen comportarse como una lista de números aleatorios, los cuales se rigen sólo por una regla general: la densidad aproximada de los números primos cerca de cualquier número es inversamente proporcional a la cantidad de dígitos que tenga el número.

En 1936, el matemático sueco Harald Cramér exploró esta idea utilizando un modelo elemental para la generación de números similares a primos aleatorios: en cada número entero, lanza una moneda ponderada – favorecida por la densidad de primos cerca de ese número – para decidir si se debe incluir ese número en su lista de “números primos” aleatorios. Cramér mostró que este modelo de lanzar una moneda funciona muy bien al predecir ciertas características de los números primos reales, tales como cuánto hay que esperar entre dos cuadrados perfectos consecutivos.

A pesar de su poder predictivo, el modelo de Cramér es una simplificación excesiva. Por ejemplo, los números pares tienen las mismas posibilidades de ser elegidos como los números impares, mientras que los números primos reales nunca lo son, aparte del número 2. A lo largo de los años, los matemáticos han desarrollado refinamientos del modelo de Cramér que, por ejemplo, excluyen números pares y números divisibles por 3, 5, y otros números primos pequeños.

Estos sencillos modelos de lanzar una moneda tienden a ser reglas generales muy útiles sobre el comportamiento de los números primos. Predicen con exactitud, entre otras cosas, que a los números primos no debería importarles cuál es su último dígito – y, de hecho, los números primos que terminan en 1, 3, 7 y 9 se presentan con más o menos la misma frecuencia.

Sin embargo, una lógica similar parece sugerir que a los números primos no debería importarles en qué dígito termina el primo que le sigue. Fue probablemente la dependencia excesiva de los matemáticos en las heurísticas simples de lanzar una moneda lo que les hizo pasar por alto los sesgos en los primos consecutivos durante tanto tiempo, dijo Granville. “Es fácil dar demasiado por sentado – asumir que tu primera suposición es correcta”.

La preferencia de los números primos sobre los dígitos finales de los números primos que les siguen se puede explicar, según encontraron Soundararajan y Lemke Oliver, utilizando un modelo mucho más refinado de aleatoriedad en números primos, algo que se llama la conjetura k-tuplas de primos. Definida originalmente por los matemáticos G. H. Hardy y J. E. Littlewood en 1923, la conjetura proporciona estimaciones precisas de la frecuencia con que aparece cada posible constelación de números primos con un patrón de separación dado. Gran cantidad de evidencia numérica apoya la conjetura, pero hasta ahora no se ha podido lograr una demostración matemática.

La conjetura k-tuplas de primos incorpora muchos de los problemas abiertos más importantes de los números primos, como la conjetura de los primos gemelos, que postula que hay infinitos pares de números primos – como 17 y 19 – cuya diferencia es dos. La mayoría de los matemáticos cree en la conjetura de los primos gemelos no porque sigan encontrando más números primos gemelos, dijo Maynard, sino porque el número de primos gemelos que han encontrado encaja muy bien con lo que predice la conjetura k-tuplas de primos.

De manera similar, Soundararajan y Lemke Oliver han encontrado que los sesgos que descubrieron en primos consecutivos se acercan mucho a lo que predice la conjetura k-tuplas de primos. En otras palabras, la conjetura más sofisticada que los matemáticos tienen acerca de la aleatoriedad de los números primos los obliga a mostrar sesgos fuertes. “Tengo que repensar  ahora cómo enseño mi clase de teoría analítica de números”, dijo Ono.

En esta primera etapa, dicen los matemáticos, es difícil saber si estos sesgos son peculiaridades aisladas, o si tienen profundas conexiones con otras estructuras matemáticas en los primos, o en otro lugar. Ono predice, sin embargo, que los matemáticos iniciarán inmediatamente una búsqueda de sesgos similares en contextos relacionados, tales como polinomios primos – objetos fundamentales de la teoría de números que no pueden factorizarse en polinomios más simples.

Y el hallazgo hará que los matemáticos miren a los propios números primos con nuevos ojos, dijo Granville. “Podría preguntarse, ¿qué más nos hemos perdido acerca de los números primos?”.

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