La conjetura abc en el limbo tras una enigmática conferencia

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Artículo publicado por Davide Castelvecchi el 16 de diciembre de 2015 en Nature News

La confusión sigue rodeando a la conjetura abc, pero la reunión de Oxford aumenta las posibilidades de una resolución.

Un trabajo colectivo para escrutar uno de los mayores misterios de las matemáticas ha terminado con unas pocas pistas, pero ninguna respuesta sólida.

Shinichi Mochizuki

Shinichi Mochizuki y la conjetura abc Crédito. Paddy Mills

El misterio trata de una demostración impenetrable, pero potencialmente innovadora, de un misterio conocido como la conjetura abc que apareció en línea hace tres años. Si la demostración es válida es algo que aún no está claro — una fuente de frustración para algunos de los principales especialistas que se reunieron en la Universidad de Oxford entre el 7 y el 11 de diciembre para debatir sobre el tema.

Otros dicen que el taller, en el cual el huraño arquitecto de la demostración, Shinichi Mochizuki, hizo una de sus pocas apariciones, virtual en este caso, al menos ha aumentado las posibilidades de una resolución.

El objetivo de comprender la demostración de Mochizuki data de agosto de 2012, cuando publicó discretamente cuatro artículos en su sitio web en los que afirmaba haber resuelto la conjetura abc. El problema toma su nombre de las expresiones con la forma a + b = c y se conecta con los números primos que son factores de a y b con aquellos que son factores de c. Su solución podría, potencialmente, cambiar por completo la teoría de números, que trata de las propiedades fundamentales de, y las relaciones entre, los número enteros.

Un volumen críptico

Pero los artículos de Mochizuki, que en total suman más de 500 páginas1–4, eran demasiado abstractos y crípticos incluso para los estándares de la matemática pura. Esto ha dificultado que otros lean la demostración, mucho menos verificarla. Además, los artículos se basan en un cuerpo de trabajo igualmente masivo que había acumulado a lo largo de los años, y con el que pocos están familiarizados.

Mochizuki, de 46 años, es un miembro muy respetado del Instituto de Investigación para Ciencias Matemáticas (RIMS) en la Universidad de Kioto, en Japón. No le gusta viajar y ha rechazado todas las invitaciones para dar conferencias sobre sus artículos fuera de Japón. Hasta el momento, sólo un puñado de investigadores ha logrado leer su demostración, y la mayor parte tuvo que pasar largos periodos junto a Mochizuki en Kioto. Es una tarea abrumadora incluso para los principales matemáticos de la rama de Mochizuki de la teoría de números, conocida como geometría aritmética.

El taller tenía como objetivo reiniciar el proceso de escrutinio. Cubría el trabajo preliminar de Mochizuki y un esbozo de sus cuatro artículos sobre abc. El contenido de los artículos fue presentado, en gran parte, por dos investigadores que dicen haber comprobado la demostración completamente — los teóricos numéricos Yuichiro Hoshi y Go Yamashita, ambos del RIMS. Fiel a sí mismo, el propio Mochizuki no asistió, aunque respondió las preguntas de los participantes a través de Skype. El taller tuvo se alojó en el Instituto Clay de Matemáticas, una organización sin ánimo de lucro con sede en el edificio principal de matemáticas de la Universidad de Oxford.

Hubo consenso en que lo más destacado del taller fue una charla ofrecida el 9 de diciembre por Kiran Kedlaya, de la Universidad de California, en San Diego, que trabaja en geometría aritmética. Se centró en un resultado de un artículo de 2008 de Mochizuki5 que vinculaba el enunciado de la conjetura abc con otra rama de las matemáticas conocida como topología. Este vínculo se reconoció inmediatamente como un paso clave en la estrategia principal de Mochizuki.

El momento ¡Ajá!

Ver esto era el tipo de momento ‘¡Ajá!’ que estaban esperando los investigadores, dice el teórico numérico Brian Conrad, de la Universidad de Stanford en California, pero el resto de la conferencia no logró crecer sobre este éxito.

Incluso Kedlaya está de acuerdo en que esta pista tiene que seguirse por muchos otros para comprender la estrategia que vincula esos pasajes clave entre ellos. “Aún no tenemos una respuesta clara a preguntas persistentes sobre cómo encajan finalmente algunas cosas entre sí”, señala. Aun así, ahora se siente motivado para invertir más tiempo en escrutar la demostración de Mochizuki, y espera ayudar a reestructurarla en el proceso.

La mayor parte de los asistentes al taller habían quedado perplejos por la demostración de Mochizuki antes del taller, señala Minhyong Kim, de la Universidad de Oxford que trabaja en geometría aritmética, y uno de los organizadores de la reunión. Ahora, al menos, algunos tienen una idea de la estrategia general y han reducido los objetos de su confusión a partes específicas de la demostración, comenta.

Pero Conrad y muchos otros participantes dicen que encontraron las siguientes lecturas indigeribles. Kim apunta que parte de la dificultad yace en las diferencias culturales: los matemáticos japoneses tienen un estilo más formal de dar conferencias de lo que hacemos los occidentales, y no están tan acostumbrados a verse cuestionados por una audiencia inquisitiva, explica.

El teatro matemático

Otros se lamentan de que no todo el contenido de las primeras charlas, que examinaban el tabajo preliminar de Mochizuki, era realmente necesario para lo que vino después en el taller. “La decisión sobre qué temas cubrir carecía de una comprensión general de la demostración”, comenta Jakob Stix, teórico numérico en la Universidad Goethe en Frankfurt, Alemania. “Lo cual realmente no es una queja, dado que creo que nadie entiende verdaderamente la demostración”.

Mochizuki explicó que, a lo largo de muchos años, había desarrollado un conjunto de herramientas que pensó que serían útiles para demostrar abc — pero que finalmente se dio cuenta de que no las necesitaba todas.

Algunos, como Felipe Voloch de la Universidad de Texas en Austin, fueron más mordaces. “La obra que interpretaron hoy en el Teatro Hodge fue una farsa”, escribió en línea Voloch, en referencia a una construcción teórica a la que Mochizuki llamó el Teatro Hodge.

Los asistentes también volvieron a plantear quejas conocidas sobre la propia demostración. “La cantidad de lenguaje parece absurda”, explica Artur Jackson de la Universidad de Purdue en West Lafayette, Indiana, al final de la sesión del jueves. Y Voloch comentó a Nature: “No sé por qué decidió hacerla tan abstracta”.

Se espera que tenga lugar un nuevo taller de seguimiento en Kioto el próximo julio. Kedlaya planea asistir, al contrario que algunos otros participantes desilusionados con el taller de Oxford. “La afirmación es un resultado extremadamente importante”, explica, y la comunidad merece saber si es válido — incluso aunque el proceso lleve algunos años más.

Referencias

Nature doi:10.1038/nature.2015.19035

1.- Mochizuki, S. Inter-universal Teichmüller Theory I: Construction of Hodge Theatres.
2.- Mochizuki, S. Inter-universal Teichmüller Theory II: Hodge-Arakelov-Theoretic Evaluation.
3.- Mochizuki, S. Inter-universal Teichmüller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice.
4.- Mochizuki, S. Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-volume computations and Set-theoretic Foundations.
5.- Mochizuki, S. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 45, 227–349 (2009).

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1 pensamiento sobre “La conjetura abc en el limbo tras una enigmática conferencia”

  1. Francisco Reglero Sarmentero dijo:

    Parece haberse empezado la casa por el tejado, quizá así resista mejor los terremotos, veremos.