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Artículo publicado por Davide Castelvecci el 9 de diciembre de 2015 en Nature News

Los teoremas de incompletitud de Godel están conectados con unos cálculos irresolubles de las física cuántica.

Una paradoja lógica en el corazón de las matemáticas y las ciencias de la computación resulta tener implicaciones en el mundo real, haciendo que una cuestión básica sobre la materia sea irresoluble.

Kurt Gödel y Alan Turing

Kurt Gödel y Alan Turing

En 1931, el matemático austriaco Kurt Gödel sacudió al mundo académico cuando anunció que algunas afirmaciones son “indecidibles”, lo que significa que es imposible demostrar si son ciertas o falsas. Tres investigadores han hallado ahora que el mismo principio hace que sea imposible calcular una importante propiedad de un material — los saltos entre los niveles de menor energía de sus electrones — a partir de un modelo idealizado de sus átomos.

El resultado también abre la posibilidad de que un problema relacionado de la física de partículas — que otorga un millón de dólares a quien lo resuelva — podría ser igualmente irresoluble, comenta Toby Cubitt, teórico de la información cuántica en el University College de Londres y uno de los autores del estudio.

Las conclusiones, publicadas el 9 de diciembre en el ejemplar de Nature1, y en una versión más amplia de 140 páginas en el servidor de arXiv2, es “realmente impactante, y probablemente una gran sorpresa para casi todos los que trabajamos en teoría de la materia condensada”, señala Christian Gogolin, teórico de la información cuántica en el Instituto de Ciencias Fotónicas en Barcelona, España.

De la lógica a la física

El hallazgo de Gödel se conectó inicialmente con el mundo físico en 1936 gracias al matemático británico Alan Turing. “Turing pensó con mayor claridad en la relación entre la física y la lógica de lo que hizo Gödel”, apunta Rebecca Goldstein, autora estadounidense que ha escrito una biografía de Gödel3.

Turing reformuló el resultado de Gödel en términos de algoritmos que se ejecutan en un computador ideal, que puede leer o escribir un bit cada vez. Demostró que existen ciertos algoritmos que son indecidibles para una “máquina de Turing”: es decir, es imposible decir si la máquina podría completar los cálculos en una cantidad de tiempo finita. Y no existe una prueba general para ver si un algoritmo concreto es indecidible. Las mismas restricciones se aplican a los computadores reales, dado que cualquiera de estos dispositivos son matemáticamente equivalentes a una máquina de Turing.

Desde la década de 19904, los físicos teóricos han tratado de integrar el trabajo de Turing en modelos idealizados de fenómenos físicos. Pero “las preguntas indecidibles que han surgido no se corresponden directamente con problemas concretos en los que los físicos estén interesados”, comenta Markus Müller, físico teórico en la Universidad Western en Londres, Canadá, que publicó uno de tales modelos junto a Gogolin y otro colaborador en 20125.

“Creo que es justo decir que el nuestro es el primer resultado sobre indecidibilidad para un gran problema de la física que realmente se está intentando resolver”, comenta Cubitt.

Salto espectral

Cubitt y sus colaboradores se centraron en calcular el “salto espectral”: el salto entre el nivel más bajo de energía que pueden ocupar los electrones en un material, y el siguiente. Esto determina algunas propiedades básicas del material. El algunos materiales, por ejemplo, disminuir la temperatura provoca que disminuya el salto, lo que lleva a que el material se convierta en un superconductor.

El equipo empezó con un modelo teórico de un material: una red cristalina de átomos infinita y bidimensional. Los estados cuánticos de los átomos en la red son un ejemplo de máquina de Turing, que contienen la información para cada paso de un cálculo para encontrar el salto espectral del material.

Cubitt y sus colegas demostraron que, para una red infinita, es imposible saber si el cálculo termina, por lo que la cuestión de si existe salto permanece indecidible.

Para un trozo finito de la red bidimensional, sin embargo, el cálculo siempre termina en un tiempo finito, llevando a una respuesta definida. A primera vista, el resultado parece tener poca relación con el mundo real. Los materiales reales siempre son finitos, y sus propiedades pueden medirse experimentalmente, o simularse mediante ordenadores.

Pero la indecibilidad “en el infinito” significa que incluso si se conoce el salto espectral para una red de cierto tamaño finito, podría cambiar súbitamente — de no tener salto a tenerlo, o viceversa — cuando el tamaño aumenta, incluso añadiendo sólo un átomo más. Y debido a que es imposible demostrar cuándo — o si — sucederá esto, comenta Cubitt, será difícil extraer conclusiones generales a partir de experimentos o simulaciones.

La pregunta del millón de dólares

Cubitt dice que el equipo quiere, en última instancia, estudiar un problema relacionado con la física de partículas conocido como el problema del salto de masa de Yang–Mills, que el Instituto Clay de Matemáticas en Peterborough, New Hampshire, ha incluido dentro de su Premio de los Problemas del Milenio. El instituto ofrece un millón de dólares a quien sea capaz de resolverlo.

El problema del salto de masa se relaciona con la observación de que las partículas que portan las fuerzas nucleares fuerte y débil tienen masa. Ésta es la razón por la que las fuerzas nucleares fuerte y débil tienen un rango tan limitado, al contrario que la gravedad y el electromagnetismo, y la razón por la que sólo se encuentran como compuestos de otras partículas, como protones o neutrones, y nunca aisladas. El problema es que no existe una teoría matemática rigurosa que explique por qué los portadores de fuerza tienen masa, cuando los fotones, los portadores de la fuerza electromagnética, no la tienen.

Cubitt espera que, finalmente, los métodos e ideas de su equipo demostrarán que el problema del salto de masa de Yang–Mills es indecidible. Pero, por el momento, no parece obvio cómo hacer esto, comenta. “Nos queda un largo camino hasta ganar el millón de dólares”.

Referencias

Nature doi:10.1038/nature.2015.18983

1.- Cubitt, T. S., Perez-Garcia, D. & Wolf, M. M. Nature 528, 207–211 (2015).
2.- Cubitt, T. S., Perez-Garcia, D. & Wolf, M. M. Preprint available at http://arxiv.org/abs/1502.04573 (2015).
3.- Goldstein, R. Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel (W. W. Norton, 2006).
4.- Moore, C. Phys. Rev. Lett. 64, 2354 (1990).
5.- Eisert, J., Müller, M. P. & Gogolin, C. Phys. Rev. Lett. 108, 260501 (2012).

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