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Artículo publicado por Adrian Cho el 13 de noviembre de 2015 en Science Magazine

Hace 360 años, el matemático británico John Wallis derivó una inusual fórmula para calcular el número π, el famoso número que nunca acaba. Ahora, curiosamente, un par de físicos han encontrado que surge la misma fórmula a partir de un cálculo rutinario en la física del átomo de hidrógeno — el átomo más simple que existe. Pero antes de que busques una conexión cósmica, o de que vayas a comprar cristales, relájate: probablemente no hay ningún significado profundo en la aparición de π en los cálculos cuánticos.

Definido como la proporción de la circunferencia de un círculo a su diámetro, π es uno de los números más extraños que existen. Su representación decimal, 3,14159265358979…, nunca acaba, y nunca se repite. Y π puede hallarse usando disparatadas fórmulas. Por ejemplo, en 1655, Wallis calculó que π podía escribirse como el producto de un infinito número de proporciones multiplicadas entre sí: π/2=(2/1*2/3)*(4/3*4/5)*(6/5*6/7)*(8/7*8/9)* …

Energía de los orbitales en el átomo de hidrógeno

Energía de los orbitales en el átomo de hidrógeno Crédito: GEEK3/WIKIMEDIA/CREATIVE COMMONS

Derivar dicha fórmula no fue un trabajo fácil para Wallis, dice Tamar Friedmann, matemática y física en la Universidad de Rochester en Nueva York. La primera aproximación empezó considerado la proporción de las áreas de un círculo y un cuadrado que lo circunscribe — lo cual resulta ser π/4 — explica Friedmann. Wallis encontró una forma de escribir esta proporción en términos de sumas infinitas, tales como 1+23+33+43+ … Tras muchas páginas de aritmética, fue capaz de reemplazar las sumas por el producto, y logró su famosa fórmula. Desde entonces, los matemáticos han encontrado formas más simples de derivarla, incluyendo técnicas procedentes de la teoría de probabilidad, combinatoria, y trigonometría.

Ahora, Friedmann y Carl Hagen, físico teórico de la Universidad de Rochester en Nueva York, han encontrado una forma sorprendentemente fácil de derivar la fórmula usando un cálculo de tres páginas que implica al átomo de hidrógeno. El átomo de hidrógeno consta de un único electrón cargado negativamente, ligado a un único protón s cargado positivamente. De acuerdo con la mecánica cuántica, el electrón no orbita al protón de la misma forma que la Luna lo hace con la Tierra, sino que ocupa un orbita similar a una nube que da la probabilidad de encontrar al electrón en un lugar o en otro. Cada orbital tiene una energía distinta.

En su cálculo, del que se informa en la revista Journal of Mathematical Physics, los investigadores usaron una técnica conocida como principio de variación para llegar a un límite superior para la energía de cada orbital. Compararon la estimación con la energía exacta del orbital, la cual puede deducirse a partir de cálculos más precisos. Hagen había estado asignando este problema en su clase de mecánica cuántica, y había encontrado que el valor aproximado se relacionaba con el valor exacto más estrechamente para estados de energía más altos. Esto era extraño, señala Friedmann, dado que las aproximaciones tienden a funcionar mejor para estados de energía más bajos.

Friedmann demostró que para los orbitales en los que el electrón orbita al núcleo con mucho “momento angular”, la proporción de las energías exactas y aproximadas puede reescribirse como la proporción de algo llamado funciones gamma. Conforme aumenta el momento angular, la proporción de las funciones gamma se acerca a 1, lo que explica la eficacia de la aproximación. Además, una de esas funciones gamma da un valor de π, mientras que las otras pueden reescribirse como el producto de las proporciones en la fórmula de Wallis. Por tanto, con un poco de reordenación, aparece la fórmula de Wallis. “Estaba completamente sorprendida”, señala Friedmann. “No estaba buscándolo en absoluto”.

El surgimiento de la fórmula probablemente no es ninguna señal de nada profundo sobre la teoría cuántica, advierte Bruno Nachtergaele, físico matemático en la Universidad de California en Davis, y editor de la revista en la que se publica el artículo. “Esto te va a encantar”, dice, “pero no se le debería buscar un significado más profundo”. De hecho, el surgimiento de la fórmula puede tener más que ver con las propiedades de las funciones gamma, que con la física del átomo de hidrógeno, señala Nachtergaele. Las funciones especiales, tales como las funciones gamma, pueden a menudo escribirse como sumas, productos, integrales, etc., explica Nachtergaele, por lo que es posible que el análisis de Friedmann y Hagen puedan llevar a otras notables fórmulas también.

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